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2020年01月18日
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素数、合成数、不足数、完全数など

2012年02月06日

理系の「なんとか数」の問題。

☆?連想




合成数
×素数/完全数/不足数



以下、~~数の説明。
おさらいの分も含めて分かりやすく書いたつもり。
正確な定義はウィキペディアに任せる。




自然数、素数、合成数、高度合成数について。


●自然数

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10・・・と続く正の整数を自然数と呼ぶ。

0を含める場合と含めない場合がある。
ここでは含めない。

自然数 - Wikipedia




●素数

素数とは、1とその数以外に約数がない自然数。
1は素数ではない。
偶数は全部2で割れるので、2以外の偶数は素数ではない。
素数は2以外全部奇数。

2,3,5,7,11,13,17,19・・・


・素数の約数
2→1,2
3→1,3
5→1,5
7→1,7
11→1,11
13→1,13
17→1,17
19→1,19


1と自分以外の数で割れない数が素数。


素数 - Wikipedia




●合成数

合成数とは、1とその数以外にも約数がある自然数。
簡単に言うと、素数ではない自然数。
1は合成数ではない。

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20・・・


・合成数の約数
4=1,2,4
6=1,2,3,6
8=1,2,4,8
9=1,3,9
10=1,2,5,10
12=1,2,3,4,6,12
14=1,2,7,14
15=1,3,5,15
16=1,2,4,8,16
18=1,2,3,6,9,18
20=1,2,4,5,10,20


4=2×2
6=2×3
35=5×7
このように素数の掛け算で作れるものは合成数。

合成数を英語で言うと Composite number
Compositeには、混成の、合成の、という意味がある。
素数を混ぜて作る数、ということだろうか。


合成数 - Wikipedia




●高度合成数

自然数の中で(つまり素数や合成数と違い1を含む)
それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものが高度合成数。

1,2,4,6,12,24,36・・・


・高度合成数の約数
1→1                 1個
2→1,2                2個
4→1,2,4              3個 1~3は約数が最大で2個
6→1,2,3,6             4個 1~5は約数が最大で3個
12→1,2,3,4,6,12        6個 1~11は約数が最大で4個
24→1,2,3,4,6,8,12,24    8個 1~23は約数が最大で6個
36→1,2,3,4,6,9,12,18,36  9個 1~35は約数が最大で8個


約数の最大数を更新した数、と考えればいいだろうか。


高度合成数 - Wikipedia






不足数、完全数、過剰数、擬似完全数、不思議数について。


●不足数、完全数、過剰数

まず自然数の数字を1個決める。
「その数」の約数を全部書きだす。
「その数」自身を除いた約数を全部足す。

足した結果が、
「その数」>「足した結果」 → 不足数
「その数」=「足した結果」 → 完全数
「その数」<「足した結果」 → 過剰数


4の約数は、1,2,4
4以外の約数を全部足すと、1+2=3
4>3 なので不足数。

6の約数は、1,2,3,6
6以外の約数を全部足すと、1+2+3=6
6=6 なので完全数。

12の約数は、1,2,3,4,6,12
12以外の約数を全部足すと、1+2+3+4+6=16
12<16 になるので過剰数。

素数は必ず不足数になる。1しか残らないから。



30まで書きだしてみる。合ってるはず。


・不足数
1→1          0
4→1,2,4       1+2=3
8→1,2,4,8      1+2+4=7
9→1,3,9       1+3=4
10→1,2,5,10    1+2+5=8
14→1,2,7,14    1+2+7=10
16→1,2,4,8,16  1+2+4+8+16=15
25→1,5,25     1+5=6
26→1,2,13,26   1+2+13=15
27→1,3,9,27    1+3+9=13
(素数は全部不足数。書くのが面倒なので省略)


・完全数
6→1,2,3,6        1+2+3=6
28→1,2,4,7,14,28  1+2+4+7+14=28


・過剰数
12→1,2,3,4,6,12       1+2+3+4+6=16
18→1,2,3,6,9,18       1+2+3+6+9=21
20→1,2,4,5,10,20      1+2+4+5+10=22
24→1,2,3,4,6,8,12,24   1+2+3+4+6+8+12=36
30→1,2,3,5,6,10,15,30  1+2+3+5+6+10+15=42


不足数 - Wikipedia

完全数 - Wikipedia

過剰数 - Wikipedia




●擬似完全数

いくつかの約数の和が「その数」と同じだと擬似完全数。
完全数も擬似完全数に含まれる。

6,12,18,20,24,28,30・・・


・擬似完全数の約数
6→1,2,3,6            1+2+3=6
12→1,2,3,4,6,12       1+2+3+6=12 (4を使わない)
18→1,2,3,6,9,18       1+2+6+9=18 (3を使わない)
20→1,2,4,5,10,20      1+4+5+10=20 (2を使わない)
24→1,2,3,4,6,8,12,24   1+2+3+4+6+8=24 (12を使わない)
28→1,2,4,7,14,28      1+2+4+7+14=28
30→1,2,3,5,6,10,15,30  5+10+15=30 (1,2,3,6を使わない)


上記のようにインチキ臭いルールで完全数になれるのが擬似完全数である。
擬似完全数になれるのは、完全数と過剰数である。

過剰数の中にも擬似完全数になれないものがある。
それらは不思議数と呼ばれる。


擬似完全数 - Wikipedia




●不思議数

過剰数なのに擬似完全数になれないものを不思議数と呼ぶ。

70,836,4030,5830・・・


・不思議数の約数
70→1,2,5,7,10,14,35,70  1+2+5+7+10+14+35=74
836→
4030→
5830→


70は過剰数だが、どう頑張っても約数の合計が70にならない。
よって不思議数である。
他の3つは自分で計算してみよう。


不思議数 - Wikipedia




●超過剰数

計算方法がよく分からない。
たぶんQMAには出ない。


超過剰数 - Wikipedia






友愛数、社交数、婚約数(準友愛数)、拡大友愛数について。



●友愛数

(220,284)など

前述の不足数、完全数などのように、「その数」を除いた約数を全部足していく。

220→1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110  220の約数の合計が284
284→1,2,4,71,142                284の約数の合計が220 (1個目に戻る)


Aの約数の合計がB
Bの約数の合計がA

といったように、2個でループするセットが友愛数。


友愛数 - Wikipedia




●社交数

(12496,14288,15472,14536,14264)など

友愛数のように、「その数」を除いた約数を全部足していく。

12496の約数の合計が14288
14288の約数の合計が15472
15472の約数の合計が14536
14536の約数の合計が14264
14264の約数の合計が12496 (1個目に戻る)

このような、3個以上のループするセットが社交数。
(ただし3個組の社交数は発見されていない)


逆に言うなら、
完全数は「1個組の社交数」
友愛数は「2個組の社交数」


社交数 - Wikipedia




●婚約数(準友愛数)

(48,75)など

友愛数のように、「その数」を除いた約数を足していき、1を引く。
(もしくは最初から約数の1を足さない)

48→1,2,3,4,6,8,12,16,24  合計が76、1を引いて75
75→1,3,5,15,25         合計が49、1を引いて48

Aの約数の合計-1がB
Bの約数の合計-1がA

このように、約数の合計-1が2個でループするセットが婚約数。


婚約数 - Wikipedia




●拡大友愛数

(6160,11697)など

友愛数のように、「その数」を除いた約数を足していき、1を足す。
婚約数の逆。

6160→・・・・・・・・・・・    合計が11696、1を足して11697
11697→・・・・・・・・・・    合計が6159、1を足して6160

Aの約数の合計+1がB
Bの約数の合計+1がA

このように、約数の合計+1が2個でループするセットが拡大友愛数。


拡大友愛数 - Wikipedia
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