QMA問題ブログ

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自然数、素数、合成数、高度合成数について。


●自然数

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10・・・と続く正の整数を自然数と呼ぶ。

0を含める場合と含めない場合がある。
ここでは含めない。

自然数 - Wikipedia




●素数

素数とは、1とその数以外に約数がない自然数。
1は素数ではない。
偶数は全部2で割れるので、2以外の偶数は素数ではない。
素数は2以外全部奇数。

2,3,5,7,11,13,17,19・・・


・素数の約数
2→1,2
3→1,3
5→1,5
7→1,7
11→1,11
13→1,13
17→1,17
19→1,19

↑
1と自分以外の数で割れない数が素数。


素数 - Wikipedia




●合成数

合成数とは、1とその数以外にも約数がある自然数。
簡単に言うと、素数ではない自然数。
1は合成数ではない。

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20・・・


・合成数の約数
4＝1,2,4
6＝1,2,3,6
8＝1,2,4,8
9＝1,3,9
10＝1,2,5,10
12＝1,2,3,4,6,12
14＝1,2,7,14
15＝1,3,5,15
16＝1,2,4,8,16
18＝1,2,3,6,9,18
20＝1,2,4,5,10,20


4＝2×2
6＝2×3
35＝5×7
このように素数の掛け算で作れるものは合成数。

合成数を英語で言うと Composite number
Compositeには、混成の、合成の、という意味がある。
素数を混ぜて作る数、ということだろうか。


合成数 - Wikipedia




●高度合成数

自然数の中で（つまり素数や合成数と違い1を含む）
それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものが高度合成数。

1,2,4,6,12,24,36・・・


・高度合成数の約数
1→1　　　　　　　　　　　　　　　　　1個
2→1,2　　　　　　　　　　　　　　　　2個
4→1,2,4　　　　　　　　　　　　　　3個　1～3は約数が最大で2個
6→1,2,3,6　　　　　　　　　　　　　4個　1～5は約数が最大で3個
12→1,2,3,4,6,12　　　　　　　　6個　1～11は約数が最大で4個
24→1,2,3,4,6,8,12,24　　　　8個　1～23は約数が最大で6個
36→1,2,3,4,6,9,12,18,36　　9個　1～35は約数が最大で8個


約数の最大数を更新した数、と考えればいいだろうか。


高度合成数 - Wikipedia

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不足数、完全数、過剰数、擬似完全数、不思議数について。


●不足数、完全数、過剰数

まず自然数の数字を1個決める。
「その数」の約数を全部書きだす。
「その数」自身を除いた約数を全部足す。

足した結果が、
「その数」＞「足した結果」　→　不足数
「その数」＝「足した結果」　→　完全数
「その数」＜「足した結果」　→　過剰数


4の約数は、1,2,4
4以外の約数を全部足すと、1＋2＝3
4＞3　なので不足数。

6の約数は、1,2,3,6
6以外の約数を全部足すと、1＋2＋3＝6
6＝6　なので完全数。

12の約数は、1,2,3,4,6,12
12以外の約数を全部足すと、1＋2＋3＋4＋6＝16
12＜16　になるので過剰数。

素数は必ず不足数になる。1しか残らないから。



30まで書きだしてみる。合ってるはず。


・不足数
1→1　　　　　　　　　　0
4→1,2,4　　　　　　　1＋2＝3
8→1,2,4,8　　　　　　1＋2＋4＝7
9→1,3,9　　　　　　　1＋3＝4
10→1,2,5,10　　　　1＋2＋5＝8
14→1,2,7,14　　　　1＋2＋7＝10
16→1,2,4,8,16　　1＋2＋4＋8＋16＝15
25→1,5,25　　　　　1＋5＝6
26→1,2,13,26　　　1＋2＋13＝15
27→1,3,9,27　　　　1＋3＋9＝13
（素数は全部不足数。書くのが面倒なので省略）


・完全数
6→1,2,3,6　　　　　　　　1＋2＋3＝6
28→1,2,4,7,14,28　　1＋2＋4＋7＋14＝28


・過剰数
12→1,2,3,4,6,12　　　　　　　1＋2＋3＋4＋6＝16
18→1,2,3,6,9,18　　　　　　　1＋2＋3＋6＋9＝21
20→1,2,4,5,10,20　　　　　　1＋2＋4＋5＋10＝22
24→1,2,3,4,6,8,12,24　　　1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＝36
30→1,2,3,5,6,10,15,30　　1＋2＋3＋5＋6＋10＋15＝42


不足数 - Wikipedia

完全数 - Wikipedia

過剰数 - Wikipedia




●擬似完全数

いくつかの約数の和が「その数」と同じだと擬似完全数。
完全数も擬似完全数に含まれる。

6,12,18,20,24,28,30・・・


・擬似完全数の約数
6→1,2,3,6　　　　　　　　　　　　1＋2＋3＝6
12→1,2,3,4,6,12　　　　　　　1＋2＋3＋6＝12　（4を使わない）
18→1,2,3,6,9,18　　　　　　　1＋2＋6＋9＝18　（3を使わない）
20→1,2,4,5,10,20　　　　　　1＋4＋5＋10＝20　（2を使わない）
24→1,2,3,4,6,8,12,24　　　1＋2＋3＋4＋6＋8＝24　（12を使わない）
28→1,2,4,7,14,28　　　　　　1＋2＋4＋7＋14＝28
30→1,2,3,5,6,10,15,30　　5＋10＋15＝30　（1,2,3,6を使わない）


上記のようにインチキ臭いルールで完全数になれるのが擬似完全数である。
擬似完全数になれるのは、完全数と過剰数である。

過剰数の中にも擬似完全数になれないものがある。
それらは不思議数と呼ばれる。


擬似完全数 - Wikipedia




●不思議数

過剰数なのに擬似完全数になれないものを不思議数と呼ぶ。

70,836,4030,5830・・・


・不思議数の約数
70→1,2,5,7,10,14,35,70　　1＋2＋5＋7＋10＋14＋35＝74
836→
4030→
5830→


70は過剰数だが、どう頑張っても約数の合計が70にならない。
よって不思議数である。
他の3つは自分で計算してみよう。


不思議数 - Wikipedia




●超過剰数

計算方法がよく分からない。
たぶんQMAには出ない。


超過剰数 - Wikipedia

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友愛数、社交数、婚約数（準友愛数）、拡大友愛数について。



●友愛数

（220,284）など

前述の不足数、完全数などのように、「その数」を除いた約数を全部足していく。

220→1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110　　220の約数の合計が284
284→1,2,4,71,142　　　　　　　　　　　　　　　　284の約数の合計が220　（1個目に戻る）


Aの約数の合計がB
Bの約数の合計がA

といったように、2個でループするセットが友愛数。


友愛数 - Wikipedia




●社交数

（12496,14288,15472,14536,14264）など

友愛数のように、「その数」を除いた約数を全部足していく。

12496の約数の合計が14288
14288の約数の合計が15472
15472の約数の合計が14536
14536の約数の合計が14264
14264の約数の合計が12496　（1個目に戻る）

このような、3個以上のループするセットが社交数。
（ただし3個組の社交数は発見されていない）


逆に言うなら、
完全数は「1個組の社交数」
友愛数は「2個組の社交数」


社交数 - Wikipedia




●婚約数（準友愛数）

（48,75）など

友愛数のように、「その数」を除いた約数を足していき、1を引く。
（もしくは最初から約数の1を足さない）

48→1,2,3,4,6,8,12,16,24　　合計が76、1を引いて75
75→1,3,5,15,25　　　　　　　　　合計が49、1を引いて48

Aの約数の合計－1がB
Bの約数の合計－1がA

このように、約数の合計－1が2個でループするセットが婚約数。


婚約数 - Wikipedia




●拡大友愛数

（6160,11697）など

友愛数のように、「その数」を除いた約数を足していき、1を足す。
婚約数の逆。

6160→・・・・・・・・・・・　　　　合計が11696、1を足して11697
11697→・・・・・・・・・・　　　　合計が6159、1を足して6160

Aの約数の合計＋1がB
Bの約数の合計＋1がA

このように、約数の合計＋1が2個でループするセットが拡大友愛数。


拡大友愛数 - Wikipedia